什么是正规数
正规?
先看下汉语中正规的“正规”的释义……
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同样的道理,
正规数也是指具有一定特性的数字……
正规数
正规数(Normal Number)是数字显示出随机分布,
且每个数字出现机会均等的实数。
“数字”指的是小数点前有限个数字(整数部分),
以及小数点后无穷数字序列(分数部分)。
设b是大于1的整数,x是实数。
考虑以b为底的位值记数法中x的数字序列。
若s是以b为底的有限数字序列,
我们以N(s,n)表示字串s在x的开首n个数字出现次数。
数x称为以b为底正规若对任意长度k的字串s。
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这个概念是由埃米尔·博雷尔在1909年创造。
用波莱尔—坎特利引理,
他证明了正规数定理:
几乎所有实数是正规的。
这定理证明存在正规数,
但首先给出一个例子的是瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基(WacławSierpiński)。
非正规数集合是不可数的,
这个结果容易得出,
想法是从每个实数中完全除去一个数字。
钱珀瑙恩数(Champernowne)
0.1234567891011121314151617...
是从连结所有自然数的数字而得出的数,
它以10为底正规,但在某些底不是正规。
科普兰—艾狄胥常数(Copeland-Erdős)
0.235711131719232931374143...
从连结所有质数的数字而得出的数,
也是以10为底正规。
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那么这个数呢?
π是正规数吗?
针对像圆周率π这种这种无止境数字模式的研究,
至今仍未停止,
这是一段无止境的研究。
目前,数学家们更倾向于
猜测圆周率π是一个“正规数”,
意思是数字的任意有限模式出现的频率,
就好似在完全随机数列中发现的结果一样。
如果我们以不同颜色标记数字,
那么,
圆周率π会表现为
值得一提的是,
探索圆周率π的可能组合模式是摩根小说
《接触未来》的故事主轴,
书中描述外星人用π的数字将一个圆的图形编码,
这种说法带有宗教哲学的色彩,
让读者思索宇宙是否是在精密安排下被创造出来的。
这部小说也被改编成了电影
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事实上,
如果圆周率π是正规数的话,
我们几乎可以认定它小数点后无止境的数列
可以代表人世间的一切
我们所有的原子序列、基因序列、
当然还有我们各种各样的想法与记忆。
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圆周率π可以让我们变得永生不朽,
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这是一件多么
AMAZING
的事情啊!!!
数学家们通常会用绝对正规来表示
某一数列在各种基底下都具有正规性。
并且用“简单正规”表示
某些数列只在特定基底下具有正规性。
比如,我们习惯用的十进制数字系统就是
“以十为底”,
因为当中只包含0到9这十个数字。
“正规”的意义在于每个单位数字都大致相同、
每一对数字都大致相同、
每三连组数字也大致相同,
以此类推,
比如,以十进制为底展开圆周率π的
前一千万个数字后,
当中数字 7 出现的次数应该很接近 100 万次;
实际上,
数字 7 总共出现了 1 000 207 次,
确实与期望值相当接近!
法国数学家博雷尔提出这个
正规数的概念后,
用来描述圆周率π的数字,
它们似乎具有随机分配的特性。
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和圆周率一样,
大多数数学家猜测
根号2,欧拉数e、ln(2)这些数字也都是正规数
只不过相关证明还没有完成……
这个证明仍遥不可及
就连哪些数字在这些常数的10进表示法无穷次出现仍不知道
大卫·贝利(David H. Bailey)和理查德·克兰德尔(Richard E. Crandall)
在2001年猜想每个无理代数数是正规的,
虽没有找到反例,
却还没有一个这样的数被证明在每个底都是正规的。